タイムカードを締めた後、休暇や時間外勤務の申請をできないようにすることは可能ですか

可能です。
承認者がタイムカードを「承認済」、または「締済」状態にするとロックがかかり、時間外勤務や休暇の申請はできない状態になります。
申請する場合は、承認者に連絡し、該当の日のタイムカードの「承認」（または「締め」）を解除すると、申請することが可能です。